教学随笔
- 指归数学抽象的情境创设
- 2020-05-21 作者：mjs2czsx 浏览：
【摘要】数学抽象是数学的核心素养之一,通过创设情境有效地进行数学抽象,帮助学生理解数学概念,并培养学生数学抽象的核心素养是一种行之有效的方法.在一次函数概念建立的过程中,只从实例中归纳出函数表达式是关于自变量的一次整式是不够的,需要重视首课----第一个具体函数的教学,需要增加建构一次函数概念的思维材料,即加强一次函数本质属性的探究,也需要从大量的具体的情境中经历分离属性与建构模型—定义与符号化—系统化的过程.
【关键词】数学抽象 情境创设 一次函数
数学抽象是数学核心素养的重要组成部分，创设具体生动的情境，促使学生主动抽象、建构数学概念，从而理解数学概念，学会数学抽象.本文以一次函数的概念为例，谈谈如何创设情境，如何引导学生进行数学抽象，从而本质地理解一次函数概念.
人教版教材是先探讨正比例函数，包括图像、性质后再研究一次函数的。苏科版是直接探讨一次函数，然后明确正比例函数是一次函数特殊形式的.显然苏科版教材的安排加大了一次函数概念建构的难度.从普遍的教学实际看，教师常常先引导学生从实例中归纳出一次整式，然后给出形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）就是一次函数.这样处理虽然也有归纳、抽象的过程，但对于一次函数的本质特征并未触及，实际上是忽略了数学抽象的过程.
一、指归数学抽象的情境创设(以苏科版为例)
我的处理方式分为四步.第一步，创设一个具体的问题情境:
某人开车从上海经过南京前往北京，其中上海到南京300千米,南京到北京1050千米,开车速度为每小时100千米,设这人离上海的距离是s千米,该车离开南京后行驶的时间是t小时,s是t的函数吗,如果是,求s与t之间的函数关系式.
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t |
1 |
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3 |
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6 |
3.5 |
4.2 |
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s(s') |
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通过填写上表,引导学生对照函数概念,确认s是t的函数关系,并写出函数关系式s=300+100t.
数学抽象一:把变量s,t抽象成y,x,即函数关系式为y=100x+300.
数学抽象二:把上海、南京、北京抽象成A地、B地、C地，改变A、B两地的距离b和行驶的速度k，可得出函数关系式如y=80x+300，y=100x+200，y=30x+20等等,类似于y=kx+b.
情境引申:设这人离北京的距离为s'千米,求s'与t的函数关系式.
数学抽象三:对比填写上表,并探究两函数变化的趋势,变化的速度.旨在让学生结合实例理解路程的增减和行驶的速度的意义.
第二步,给出实例:
给汽车加油的加油枪是25L/min,如果加油前油箱里没有油,那么在加油过程中,油箱里的油量与加油时间之间有怎样的函数关系?如果加油前油箱里有6L油呢?
数学抽象四:能把上述函数关系用行程问题模型表述吗?各学习小组根据y=25x+6,编写其他类型的问题情境,并交流.
第三步,给出实例:
正方形的面积s与边长x之间的关系能否用行程问题模型表述,为什么?
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x |
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s |
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归纳不同:x增加1,s增加的值不同;函数表达式不同.
数学抽象五:不是所有的函数都能类比定速行程问题模型,不是所有函数都满足形如y=kx+b,不是所有函数值随自变量值变化的速度都相等.所以可以把定速模型的函数类型归为一类.
数学抽象六:形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数是一次函数.其中k相当于模型中恒定的速度.当b=0时,y=kx,即y与x的比值是常数k,所以称y是x的正比例函数.
第四步,列出课本中实例的函数关系式,判断函数类型,是一次函数(正比例函数)的指出k和b的值,并指出k的意义.
二、这种情境创设的理论基础
（一）卜以楼的首课理论
卜以楼认为教育的目的不是让学生知识化，而是让学生智慧化.要提升学生的智慧,首课教学往往比其他课时教学来得重要.同时,能用恰到好处的实例来解读理论的人,比只会给出抽象理论的人更伟大.因为这不但表明了消化理论的能力,也代表了思考的透彻与思想的成熟.[1]
一次函数是学生接触的第一个具体的函数类型,根据卜以楼的首课理论，这应是花大气力去研究的，其他函数的学习均可借鉴一次函数.同时，一次函数又是第一个研究的函数类型，如何研究函数，为何要将函数分类，怎样将函数分类，学生没有可靠的经验，这些都是学习一次函数概念的难点.为了突破难点,必须对一次函数的性质进行一些研究,必须提供足够的数学抽象的材料,必须延迟一次函数概念的出现.
(二)数学抽象的教育心理学本质
数学抽象本质上是皮亚杰所说的反省抽象,它包括投射和反射两个基本阶段.数学活动的基本步骤是:分离属性与建构模型—定义与符号化—系统化,数学抽象必须借助教学直观.这种抽象活动的认知机制给数学教学的启示是:设计有针对性的抽象活动步骤,全面而有侧重点地开展各种抽象活动,引导学生进行及时的反思和总结.[2]
本设计的第一个实例情境,其实已经给出了一次函数的问题模型,但不说破,具体研究它的一些性质,譬如给定t的值,s的值唯一确定,即是函数关系,譬如s随t的增大而增大,t每增加1,s就增大100（找规律归纳得到）等等.情境引申中的s'旨在说明k<0时的实际意义,同时,s'随t的增大而减小.这是一个投射的基本阶段,也是分离属性与建构模型的阶段.
第二个实例,旨在引导学生进行类比,并通过设置开放性问题向更广的范围迁移.这种类比在列代数式和列方程解应用题中均有涉及,调动了学生已有的经验,说明函数与列代数式及列方程有密切的联系,也说明了定速模型的普遍性,更强化了一次函数的本质特征----定速.这是反射的基本阶段,是定义与符号化之前对其合理性的理解.
第三个实例其实是作为一次函数的对立面去设计的.我们还无法构建一个完整的函数分类系统,我们只是让学生弄清除了一次函数还有其他函数,他们的关系式不一样,性质也不一样.这样我们就有分开研究的必要.到此,学生应该能抽象出一次函数的概念,同时也知晓一次函数的一些性质.这是投射与反射相结合的阶段,是系统化的过程,需要在更大的系统中定义一次函数.最后是运用概念解决问题.
(三)行知教学理论
陶行知学生认为,行是知之始,认识来源于实践,实践是认识的基础.在数学学习中,抽象的数学概念也来源于丰富的生活实践,所以数学概念课切忌告知,要结合实际问题，理解实际问题，从实际问题中不断抽象出数学概念的本质,这样的概念建构才更有意义.学习概念，如果忽略概念形成的过程，对概念的认识常常会肤浅、机械，如果缺少从生活实践中数学抽象的过程,学生应用数学解决实际问题的能力也会欠缺.
所以,本节课就是从生活中的具体实例开始的，是从上海、南京、北京之间的行程问题开始的,然后再抽象成A地B地C地的.在开放性举例中,更是调动了所有学生的生活经验,有利于学生理解一次函数的广泛性,弄清学习一次函数的必要性.最后又回到具体的情境中应用概念解决实际问题,更是体现了行知思想中行是知之始,行是知之果.如果忽略这一过程，本节课的任务就比较轻松，可以解决许多习题，但学生并没有真正理解一次函数概念.
三、本情境创设中需注意的问题
本设计对学生的要求较高,应用性问题是学生理解的难点,所以在实施的过程中应根据学生的实际,舍得在建构的过程中花时间、花精力，不要一味追求教学的进度,对于学困生，也一定要让他们开口表达,可以采取小组学习、同伴互助的形式促进他们的理解.本设计只是提供了数学层面的思路,并没有涉及具体的课堂教学组织和实施的具体方式方法,需要根据学生的情况再做具体安排.
本设计依赖于列代数式、代数式的值、代数式的意义、找规律等，又涉及函数概念这个难点,还要学生理解一次函数的本质属性,在系统中理解函数分类，是深度学习,所以要重视学习的过程,千万不要当知识点告知,学生不能全面理解也不应强求.
一次函数还有一个本质，就是图像是一条直线，这是后续学习的重点和难点，学生不易发现和理解，不把它作为理解一次函数概念的思维材料.即使有学生提出也不必赘述.
[1]卜以楼.生长数学:卜以楼初中数学教学主张.西安:陕西师范大学出版总社有限公司,2018.6
[2]吴增生.数学抽象的认知机制及其教学策略.初中数学教与学.2017.10