教学随笔
- 浅谈数学概念教学 泰兴市姚王初中 蔡伟
- 2020-11-03 作者：mjs2czsx 浏览：
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浅谈数学概念教学
泰兴市姚王初中 蔡伟
数学概念的形成是一个复杂的过程，不要低估它的复杂性，寻求概念的感性支撑，经历概念抽象的过程，对理解概念，理解对应的性质和判定，对解题，都有积极的影响。
正切概念的理解比应用更难，可能是初中最难的概念，与相似相关，与函数相关，并且函数、相似学得很好的本来就不多，更难的是，正切沟通的是角与线段比之间的联系，而线段比是构造出来的，为什么要这么构造，为什么能这么构造，这么构造能解决什么问题，不仅是这节课解决不了的问题，而且也可能是我们惧怕三角函数的深层原因。
我目前对三角函数并不惧怕，至少对高中部分尚可。其实我上高中时这部分学得很差，表现出来的是公式记不得，推导也不会，变形策略全无，再加上错误百出，究其原因就是概念过于复杂（高中概念更复杂）。而我真正理解三角函数，其实是建立在高等数学学习之后，对函数概念的理解，对导数、积分、级数、常偏微分方程理解，对傅里叶级数的理解（世界几乎所有变化都可以转化成三角函数，就像波就是三角函数一样）。
所以，我们学习概念就要建立在直观的基础之上，用到的数学知识越少，能建立概念的人会越多，至少浅层的概念会有，否则学生将会不知所云。
其实，长城的情境不好，至少我没去过。陡与平，梯子的感觉最直观，不过这是正弦概念的情境，因为梯子长度不变，即弦不变。为了刻画倾斜程度，教者设计了若干种方式，但显然各种方式都是设计好的，必须要按指定的方式去揭示的。其实，比较梯子的陡与平，梯子底不动，高度增加则陡；梯子顶不动，底到墙的距离减小则陡。一个简单的体验，物理中的实验就可以解决。没必要一个学生到黑板上画图，大家坐在座位上傻看，况且这不是本质，也不是难点，只是铺垫。把这两个结论对比写下来，让学生猜想坡角的大小与谁有关，与哪一个量（什么量）有关。显然不是加和乘，是减还是除？为什么是除？点移动后，由相似的性质，比不变，差在变。所以可以用比来刻画坡角的大小。
如何刻画坡角的大小，说明我们的学生很懂事，知道教师要什么，是预习也好，是已学过也好，循规蹈矩也好，创新缺失也好，反正鲜有独到的东西。譬如，建立直角坐标系，求一次函数关系式，k值（正）大的陡。譬如，类比相似，为什么要直角，135度角，对应的比也不变，如果是正弦，其实是
sina,这更算独立思考。
由于正切概念的难以理解，初中阶段是不把它当函数研究的，譬如增减性，譬如同角三角函数之间的关系等，主要是用来研究几何应用的。简单地说，相似是说一个三角形的三边与另一个三角形的三边的比相等，另一种理解就是同一个三角形中的两边之比与对应三角形中的两边之比也相等，如果是直角三角形，这个比就可以用一个函数符号表示，这个比与角的大小有关，是角本身的属性，已知角就是已知比，表现比需要有直角三角形，直角三角形的位置变化、多个直角三角形的不同表示、等角的替换都是对概念深入的理解。不符合分配律，与整式运算不同等等，这些是对概念外延的理解，是反向的理解，虽然不是本节课的目标，但也是需要探究的问题，即使课本没有，事实上学生会这样合情地思考的。
至于刷题，在源题上生长，变化出丰富多变的习题来，让学生清晰试题的来源、变式的方法，是能让学生举一反三的。教师提供训练的路径（习题串）是高效的，学生自由行是主动的，但常常是低层次的，那闪现光环的是优等生的杰作，农村薄弱学校课堂精彩的生成很少。
对于大多数听课老师来讲，主要是来看授课老师的习题串的，是来学习解题的葵花宝典的，来寻找一招制敌的宝贝的。然而对于训练来说，刷题是最佳选择。任何精心挑选的习题都有明显的个人偏好，或遵循某种逻辑，但任何逻辑都有例外。在体育比赛中，训练的东西在赛场上不一定能实现，在赛场上练到的，一定是最宝贵的实战经验。除了明显的重复、繁琐的计算需要避免外，实战、野战、速度才至关重要。怎样才有速度，二级结论（模型）的体系建构，思维才有足够的着力点、支撑点，这样才能快，普遍意义上的思维深刻性、敏捷性是不存在的。
概念理解不透，解题就是依葫芦画瓢，每节课效果都不错，一综合就不行。概念抽象的过程被忽略，抽象的能力一欠缺，建模的能力就弱，应用性的问题常常读不懂题意。物理课可以做实验，让学生建立直观的体验，多起点学习。数学能否也打破链条式的学习，让掉队的学生还有上车的机会？在生长数学之外，能否有一些独立的附着在客观世界上的数学嫩芽？前几天听物理平面镜成像实验，有人说实验不必做，学生有足够的照镜子体验。但事实上带着实验目的做实验与平时照镜子的目的（正衣冠、寻美）是不同的，关注点不一样。物、像，物距、像距指什么，之间关系如何，在实验过程中建立了关于这些的直观体验，这样得出的结论更可靠。当然这节课更多的要关注如何设计实验，如何用实验验证猜想，而实验过程中出现的关于实验的问题才是难点，譬如茶色玻璃与反光镜的选择，实像与虚像的鉴别，实验过程中数据的获得，产生误差或错误的原因等等。不做实验，可能学生连问题都读不懂。推广到数学上，做实验，动手操作，进行大量的尝试，在获得大量的具体、理解的信息的基础上思考，抽象，这样才能真正建立概念。同时，这种建立概念的过程也是学习数学、建模的过程，反向就是解决实际问题的过程，这也是数学的重要方面。
顾跃的课用了很多心思，也保留了多人打磨的痕迹。譬如开篇的音乐和画面，借鉴了婚礼的开场，想让学生嗨起来。譬如让学生画图，比较同宽或同高的坡面的陡与平，也是想增强学生的感性体验。譬如设计开放性的习题，是想体现以生为本，想寻找学生真实提出的问题。譬如借助几何画板，想让学生理解函数值的确定及随着角的变化而变化，要以技术的手段达成三角函数概念的理解。也正因为如此，不确定因素太多，课堂显得难以驾驭，而多人的思路、繁杂的目标，又使课堂有点乱，不符合顾跃一贯的风格。