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图式建构：小学数学结构化教学的新视域——以“圆”教学为例

2026-03-30　　作者：mjs4xxsx　　浏览：

图式建构：小学数学结构化教学的新视域

——以“圆”教学为例

 

小学数学结构化教学，要求我们立足学生已有的认知经验，站在整体化、系统化的高度，回顾、整合和提炼教学内容，促使学生在掌握数学知识的同时，进一步发展和完善认知结构。笔者通过实践认为， “图式建构”打开了小学数学结构化教学的新视域。所谓"图式"，就是存在于记忆中的知识结构或认知结构。瑞士心理学家皮亚杰的认知发展理论认为，学生的学习过程就是图式的不断增删、改组和完善的过程。本文中的"图式建构"，是指运用图式理论引导学生借助图形表征进行认知联结，从而加深对学习内容的整体理解，形成良好的认知结构。

苏教版教材五年级下册“圆”这个单元，主要教学圆的认识、圆的周长和面积计算公式的推导，关系理解及基本应用。笔者在教学过程中，通过设计有效的活动，对图形元素进行充分的开发与利用，引导学生在图式建构中，将相关联的数学问题进行整合，使零散的、复杂的问题变得更加有序，在使知识结构化的同时促进学生认知的结构化。

一、在"图式建构"中感悟，凸显研究方法的一致性

在探索圆的面积计算公式时，一般都是将圆平均分成32份、64份……使圆的面积转化成近似长方形的面积。

然后引导学生观察转化前后的图形：“转化前后，什么变了，什么不变?”在学生交流的基础上相机指导"从整体走向局部”的观察方法。即如：从整体进行观察—— 图形的形状变了，面积不变；从局部进行观察—— 圆周长的一半相当于长方形的长，圆的半径相当于长方形的宽。由此推导出圆的面积计算公式：因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=πr²。

在这里，“圆为什么要转化成长方形”“转化后发现怎样的联系就能推导出圆的面积计算公式”是隐藏在知识背后的思维线索。将未知转化成已知，观察转化前后两种图形面积与面积之间，周长与长之间的关系。

推导圆的面积计算公式时，还可以把圆平均分成 4 份，9 份，16 份，25 份……得到若干个大小相等的扇形，再把这些小扇形拼成一个近似的三角形（分的份数越多，拼成的图形就越近似于三角形），如图，把圆等分16份，然后拼成一个近似的三角形，如果圆的半径用 r 表示，那么三角形的底可以表示成   πr,  高可以表示成4r，则三角形的面积是πr²，由此得到的圆的面积是πr²

无论如何变化图形，观察图形时的基本思考内容都是不变的：“转化前后，什么变了，什么不变?”转化前后两种图形的面积与面积、周长或半径与边之间有什么关系?这既体现了教学结构的一贯性和连续性，也体现了学生在探索图形的面积计算公式时思维的一贯性和连续性。在图形变化中凸显研究方法的一致性，一方面有助于学生积累探索学习的经验，另一方面也有助于他们形成结构化的认知。

二、在"图式建构"中交融，凸显公式的关联性

在探索圆的周长计算公式之后，经常会看到下面这样的活动设计。

【活动】如图①，蚂蚁甲沿大圆走一圈回到起点，蚂蚁乙沿两个小圆走一圈回到起点。

（1）蚂蚁甲走的路程是（    ）厘米，蚂蚁乙走的路程是（    ）厘米。

（2）我发现：如果大圆的直径等于所有小圆直径的和，那么大圆的周长等于所有小圆的（       ）。

（3）如图②，已知AB=50厘米，则各圆的周长

总和为（    ）厘米。

学生在自主解题的过程中，思维水平的差异会带来不同的操作方案。有的学生不知如何下手，只能通过计算解决第（1）题，甲的路程：（4+8）π=12π（厘米），乙的路程：4π+8π=12π（厘米），通过计算发现大圆的周长等于小圆的周长和。解决问题（3）有的学生基于直觉知道所有小圆的直径和就是AB的长度，所有小圆的周长和就等于以AB为直径的圆的周长。 部分同学通过将AB分成r_1、r_2、r_3、r_4，πr₁₊πr₂₊πr₃₊πr₄₌π（r₁₊r₂₊r₃₊r₄）=π×AB，也能求出各圆的周长和是50π厘米。

 从图形直观出发，结合圆周长的计算公式，发现当它们的小圆直径和等于大圆的直径，就能得到小圆的周长和等于大圆的周长。这就将圆的周长比较问题简化成了直径的比较问题。由此，学生的推理意识也得到了增强。通过变形沟通了两个图形之间的内在联系，使学生的思维从单一走向多元；借助几何直观化抽象为具体，使学生领悟到圆的周长与直径的内在本质。

巧用图式，紧扣变与不变的内在本质，深度思考圆周长计算公式之间的内在联系，学生的认知结构也就能在知识的相互交融中不断完善。

三、在"图式建构"中表达，凸显图形推理的逻辑性

基于图形之间的关系进行推理，也是教学“圆”时需要关注的重要环节。那么，如何引导学生顺利展开推理呢？基本的方法也是借助“